Chapter 9.1 The Pythagorean theorem

10.1-10.3 Quiz    Exercise 1   The center of the circle is P, so the name of the circle is circle P and can be written as  ⊙ 𝑃𝑃 .    Exercise 2   One of the radius of the circle is  𝑃𝑃𝑃𝑃 .    Exercise 3   The diameter of the circle is  𝑃𝑃𝐾𝐾 .    Exercise 4  The chord of the circle is  𝐽𝐽𝐽𝐽 .    Exercise 5   The secant of the circle is  𝑄𝑄𝑄𝑄 ⃖���⃗ .    Exercise 6   The tangent of the circle is  𝑄𝑄𝑄𝑄 ⃖����⃗ .    Exercise 7   By the Pythagorean Theorem,   ( 𝑥𝑥 + 9) 2 = 15 2 + 𝑥𝑥 2   𝑥𝑥 2 + 18 𝑥𝑥 + 81 = 225 + 𝑥𝑥 2   18 𝑥𝑥 + 81 = 225  18 𝑥𝑥 = 144  𝑥𝑥 = 8   So, the value of x is 8.    Exercise 8  By External Tangent Congruence Theorem,   6 𝑥𝑥 − 3 = 3 𝑥𝑥 + 18  6 𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 = 18 + 3  3 𝑥𝑥 = 21  𝑥𝑥 = 7   So, the value of x is 5.    Exercise 9  𝐴𝐴𝐴𝐴  is a diameter, so  𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 180 ∘ . Then,   𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 180 ∘ − 𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 �   𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 180 ∘ − 36 ∘   𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 144 ∘   Then,  𝐴𝐴𝐴𝐴 �  is a minor arc and  𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 144 ∘ .    Exercise 10  𝐴𝐴𝐴𝐴  is a diameter, so  𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 180 ∘ . Then,   𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 � = 180 ∘ − 𝑚𝑚𝐴𝐴𝐵𝐵 � − 𝑚𝑚𝐵𝐵𝐴𝐴 �   𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 � = 180 ∘ − 67 ∘ − 70 ∘   𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 � = 43 ∘  

Then,  𝐵𝐵𝐵𝐵 �  is a minor arc and  𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 � = 43 ∘ .    Exercise 11  𝑚𝑚𝐴𝐴𝐵𝐵 � = 𝑚𝑚𝐴𝐴𝐵𝐵 � + 𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 �   𝑚𝑚𝐴𝐴𝐵𝐵 � = 67 ∘ + 43 ∘   𝑚𝑚𝐴𝐴𝐵𝐵 � = 110 ∘   Then,  𝐴𝐴𝐵𝐵 �  is a minor arc and  𝑚𝑚𝐴𝐴𝐵𝐵 � = 110 ∘ .    Exercise 12  𝐴𝐴𝐴𝐴  is a diameter, so  𝑚𝑚𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 � = 180 ∘ . Then,  𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 �  is a semicircle and  𝑚𝑚𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 � = 180 ∘ .    Exercise 13  𝐴𝐴𝐴𝐴  is a diameter, so  𝑚𝑚𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 � = 180 ∘ . Then,   𝑚𝑚𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 � = 𝑚𝑚𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 � + 𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 �   𝑚𝑚𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 � = 180 ∘ + 36 ∘   𝑚𝑚𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 � = 216 ∘   Then,  𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 �  is a major arc and  𝑚𝑚𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 � = 216 ∘ .    Exercise 14  𝑚𝑚𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 � = 360 ∘ − 𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 �   𝑚𝑚𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 � = 360 ∘ − 43 ∘   𝑚𝑚𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 � = 317 ∘   Then,  𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 �  is a major arc and  𝑚𝑚𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 � = 317 ∘ .    Exercise 15   The central angles of the minor arcs are vertical angles, so they are congruent.  Because \hat{JM} and \hat{KL} lie on the same circle, by Congruent Central Angles  Theorem, \hat{JM}\cong\hat{KL}. So, the red arcs are congruent.    Exercise 16   From the figure,  𝑚𝑚𝑃𝑃𝑄𝑄 � = 𝑚𝑚𝑄𝑄𝑄𝑄 � . But,  𝑃𝑃𝑄𝑄 �  lies on the circle that the radius is 7 and  𝑄𝑄𝑄𝑄 �  lies  on the circle that diameter is 15 or the radius is 7.5. Because the circles have different  radius, the circles are not congruent. So, the red arcs are not congruent.    Exercise 17   By Congruent Corresponding Chords Theorem,  𝐴𝐴𝐸𝐸𝐸𝐸 � ≅ 𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 � . So,   𝑚𝑚𝐴𝐴𝐸𝐸𝐸𝐸 � = 𝑚𝑚𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 �   𝑚𝑚𝐴𝐴𝐸𝐸𝐸𝐸 � = 360 ∘ − 𝑚𝑚𝐵𝐵𝐵𝐵 � − 𝑚𝑚𝐵𝐵𝐴𝐴 �   𝑚𝑚𝐴𝐴𝐸𝐸𝐸𝐸 � = 360 ∘ − 150 ∘ − 110 ∘   𝑚𝑚𝐴𝐴𝐸𝐸𝐸𝐸 � = 100 ∘   So, the measure of the red arcs in  ⊙ 𝑄𝑄  is  100 ∘ .    Exercise 18   By Equidistant Chords Theorem,   PG=PJ  x+5=3x-1  x-3x=-1-5  -2x=-6  x=3  Then, by Perpendicular Chord Bisector Theorem, FJ=JD. Because FD=30, so 

FJ=JD=15.  Look at triangle PJD. By Pythagorean Theorem,  𝑃𝑃𝐴𝐴 = �𝑃𝑃𝐽𝐽 2 + 𝐽𝐽𝐴𝐴 2   𝑃𝑃𝐴𝐴 = � (3 𝑥𝑥 − 1) 2 + 15 2   𝑃𝑃𝐴𝐴 = � (3 ⋅ 3 − 1) 2 + 15 2   𝑃𝑃𝐴𝐴 = � (9 − 1) 2 + 15 2   𝑃𝑃𝐴𝐴 = � 8 2 + 15 2   𝑃𝑃𝐴𝐴 = √ 64 + 225  𝑃𝑃𝐴𝐴 = √ 289  𝑃𝑃𝐴𝐴 = 17   𝑃𝑃𝐴𝐴  is the radius of  ⊙ 𝑃𝑃 , so the radius of  ⊙ 𝑃𝑃  is 17.    Exercise 19   a. Because a circular clock is divided into 12 congruent sections, the measure of each arc is  360 ∘ 12 = 30 ∘ .  b. When the time is 7:00, the hour hand points number 7 and the minute hand points  number 12. There are 5 sections between number 7 and number 12, so the measure of  minor arc is  12 ⋅ 30 ∘ = 360 ∘ .  c. The arc is congruent if there are 5 sections between the hour hand and the minute  hand. If the minute hand points number 12, so the hour hand should point number 5 and  the time is 5:00.