Chapter 4.5 Dilations

4.5 Dilations    Exercise 1   𝑃𝑃 ′ ( 𝑘𝑘𝑘𝑘 , 𝑘𝑘𝑘𝑘 )     Exercise 2   60% because this scale factor is less than 1.    Exercise 3   Because  𝐶𝐶𝑃𝑃 ′ 𝐶𝐶𝑃𝑃 = 6 14 ,  the scale factor is  𝑘𝑘 = 37 . So the dilation is a reduction.    Exercise 4  Because  𝐶𝐶𝑃𝑃 ′ 𝐶𝐶𝑃𝑃 = 24 9 , the scale factor is  𝑘𝑘 = 83 . So the dilation is an enlargement.    Exercise 5   Because  𝐶𝐶𝑃𝑃 ′ 𝐶𝐶𝑃𝑃 = 9 15 ,the scale factor is  𝑘𝑘 = 35 . So the dilation is a reduction.    Exercise 6   Because  𝐶𝐶𝑃𝑃 ′ 𝐶𝐶𝑃𝑃 = 28 8 , the scale factor is  𝑘𝑘 = 72 . So the dilation is an enlargement.    Exercise 7       Exercise 8 

    Exercise 9      Exercise 10 

    Exercise 11      Exercise 12      Exercise 13 

    Exercise 14      Exercise 15  ( 𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 ) → (3 𝑘𝑘 , 3 𝑘𝑘 )  𝑋𝑋 (6, − 1) → 𝑋𝑋 ′ (18, − 3)  𝑌𝑌 ( − 2, − 4) → 𝑌𝑌 ′ ( − 6, − 12)  𝑍𝑍 (1,2) → 𝑋𝑋 ′ (3,6)  

    Exercise 16   ( 𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 ) → � 65 𝑘𝑘 , 65 𝑘𝑘�   𝐴𝐴 (0,5) → 𝐴𝐴 ′ (0,6)  𝐵𝐵 ( − 10, − 5) → 𝐵𝐵 ′ ( − 12, − 6)  𝐶𝐶 (5, − 5) → 𝐶𝐶 ′ (6, − 6)       Exercise 17   ( 𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 ) → � 23 𝑘𝑘 , 23 𝑘𝑘�   𝑇𝑇 (9, − 3) → 𝑇𝑇 ′ (6, − 2)  𝑈𝑈 (6,0) → 𝑈𝑈 ′ (4,0)  𝑉𝑉 (3,9) → 𝑉𝑉 ′ (2,6)  𝑊𝑊 (0,0) → 𝑊𝑊 ′ (0,0)  

    Exercise 18   ( 𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 ) → (0.25 𝑘𝑘 , 0.25 𝑘𝑘 )  𝐽𝐽 (4,0) → 𝐽𝐽 ′ (1,0)  𝐾𝐾 ( − 8,4) → 𝐾𝐾 ′ ( − 2,1)  𝐿𝐿 (0, − 4) → 𝐿𝐿 ′ (0, − 1)  𝑀𝑀 (12, − 8) → 𝑀𝑀 ′ (3, − 2)         Exercise 19   ( 𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 ) → �− 15 𝑘𝑘 , − 15 𝑘𝑘�   𝐵𝐵 ( − 5, − 10) → 𝐵𝐵 ′ (1,2)  𝐶𝐶 ( − 10,15) → 𝐶𝐶 ′ (2, − 3)  𝐷𝐷 (0,5) → 𝐷𝐷 ′ (0, − 1)  

    Exercise 20   ( 𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 ) → ( − 3 𝑘𝑘 , − 3 𝑘𝑘 )  𝐿𝐿 (0,0) → 𝐿𝐿 ′ (0,0)  𝑀𝑀 ( − 4,1) → 𝑀𝑀 ′ (12, − 3)  𝑁𝑁 ( − 3, − 6) → 𝑁𝑁 ′ (9,18)        

Exercise 21  ( 𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 ) → ( − 4 𝑘𝑘 , − 4 𝑘𝑘 )  𝑅𝑅 ( − 7, − 1) → 𝑅𝑅 ′ (28,4)  𝑆𝑆 (2,5) → 𝑆𝑆 ′ ( − 8, − 20)  𝑇𝑇 ( − 2, − 3) → 𝑇𝑇 ′ (8,12)  𝑈𝑈 ( − 3, − 3) → 𝑈𝑈 ′ (12,12)         Exercise 22   ( 𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 ) → ( − 0.5 𝑘𝑘 , − 0.5 𝑘𝑘 )  𝑊𝑊 (8, − 2) → 𝑊𝑊 ′ ( − 4,1)  𝑋𝑋 (6,0) → 𝑋𝑋 ′ ( − 3,0)  𝑌𝑌 ( − 6,4) → 𝑌𝑌 ′ (3, − 2)  𝑍𝑍 ( − 2,2) → 𝑍𝑍 ′ (1, − 1)    

  Exercise 23   The scale factor is the ratio of the length of the corresponding sides of the image and  preimage.  𝑘𝑘 = 𝐶𝐶𝑃𝑃 ′ 𝐶𝐶𝑃𝑃 = 3 12 = 14     Exercise 24  If P(x,y) is the preimage of a point, then its image after dilation at the origin (0,0) with  scale factor k is the point  𝑃𝑃 ′ ( 𝑘𝑘𝑘𝑘 , 𝑘𝑘𝑘𝑘 ).    Therefore k=2.    Exercise 25  𝑘𝑘 = 15 9 = 53  𝑘𝑘 = 35 𝑘𝑘   53 = 35 𝑘𝑘   5 𝑘𝑘 = 105  𝑘𝑘 = 21     Exercise 26  𝑘𝑘 = 2814 = 2  2 = 12 𝑛𝑛   2 𝑛𝑛 = 12  𝑛𝑛 = 6     Exercise 27  𝑘𝑘 = 32  𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 2  32 = 𝑘𝑘 2  3 = 𝑘𝑘     Exercise 28 

𝑘𝑘 = 7 28 = 14  𝑘𝑘 = 4 𝑚𝑚   14 = 4 𝑚𝑚   𝑚𝑚 = 16     Exercise 29  𝑘𝑘 = 5 2.5 = 2  𝑜𝑜𝑜𝑜   𝑘𝑘 = 7 3.5 = 2     Exercise 30  𝑘𝑘 = 10 8.5 = 100 85 = 2013     Exercise 31   image length actual length = 𝑘𝑘   image length 60 = 5  𝐼𝐼𝑚𝑚𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼   𝑙𝑙𝐼𝐼𝑛𝑛𝐼𝐼𝑙𝑙ℎ   =  300  𝑚𝑚𝑚𝑚     Exercise 32  image length actual length = 𝑘𝑘   image length 4.5 = 10  𝐼𝐼𝑚𝑚𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼   𝑙𝑙𝐼𝐼𝑛𝑛𝐼𝐼𝑙𝑙ℎ   =  45  𝑚𝑚𝑚𝑚     Exercise 33  image length actual length = 𝑘𝑘   image length 47 = 20  𝐼𝐼𝑚𝑚𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼   𝑙𝑙𝐼𝐼𝑛𝑛𝐼𝐼𝑙𝑙ℎ   =  980  𝑚𝑚𝑚𝑚     Exercise 34  image length actual length = 𝑘𝑘   image length 12 = 15  𝐼𝐼𝑚𝑚𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼   𝑙𝑙𝐼𝐼𝑛𝑛𝐼𝐼𝑙𝑙ℎ   =  180  𝑚𝑚𝑚𝑚     Exercise 35  Grasshopper:  image length actual length = 15 2 = 7.5  Black beetle:  image length actual length = 4.20.6 = 7 

Honeybee: image length actual length = 75 16 5 8 = 7.5  Monarch butterfly:  image length actual length = 29.25 3.9 = 7.5    Therefore grasshoppers, honeybees and monarch  butter�lies  were  looked  at  using  the same  magnifyi       Exercise 36  Building  △ ABC and  △ ABC dilatation  △ A ′ B ′ C ′ . We connect each point to its  corresponding image in order to construct the dilation's center. The center of dilation is  where the three lines converge.     Exercise 37  Small sides: 84 = 𝑘𝑘 1   Large sides:  10 6 = 𝑘𝑘 2     Because the scale factor is not equal, the photo can't be dilated to fit the frame.    Exercise 38  image length actual length = 𝑘𝑘 = 13  Hence, the large figure is the actual figure and the other one is the dilated figure.    Exercise 39  Since the larger triangle is the dilation of the smaller triangle,  62 = 2 𝑘𝑘 + 8 𝑘𝑘 + 1   3 = 2 𝑘𝑘 + 8 𝑘𝑘 + 1   3 𝑘𝑘 + 3 = 2 𝑘𝑘 + 8  𝑘𝑘 = 6   

Since   angle  measures are preserved,  3y − 34 = y + 16  3y − y = 16 + 34  2y = 50  y = 25     Exercise 40  To understand why a scale factor of 2 is equivalent to 200%, we need to first understand  what scale factor means in mathematics. A scale factor is a number that scales, or  multiplies, a quantity or measurement by a certain amount. For example, if we have a  line segment that is 5 units long and we want to scale it by a factor of 2, we would  multiply 5 by 2 to get a new length of 10 units. Now, let's consider the percentage scale.  Percentages are a way of expressing a number as a fraction of 100. For example, 50%  is the same as 50/100 or 0.5. To convert a scale factor to a percentage, we can simply  multiply it by 100. For example, if our scale factor is 2, we can multiply it by 100 to get  200%, which is the same as saying that we are scaling our quantity by a factor of 2. In  mathematical notation, we can express this as: scale factor of 2 = 2 200%=2×100 So, a  scale factor of 2 is the same as 200% because they both represent multiplying a  quantity or measurement by a factor of 2.    Exercise 41  The original figure is closer to the centre of dilation.    Exercise 42  The dilated figure is closer to the centre of dilation.    Exercise 43  The original figure is closer to the centre of dilation.    Exercise 44  The dilated figure is closer to the centre of dilation.    Exercise 45   a. Length  𝑂𝑂 ′ 𝐴𝐴 ′  is 2 times longer than OA.    b. OA and  𝑂𝑂 ′ 𝐴𝐴 ′  are parallel.    Exercise 46   a. Length  𝐴𝐴 ′ 𝐵𝐵 ′  is equal to half of the length of AB.    b. AB and  𝐴𝐴 ′ 𝐵𝐵 ′  are parallel.    Exercise 47   image length actual length = 𝑘𝑘   9 12 ∗ 12 = 9 144 = 1 16  Hence the scale factor is  1 16 .     Exercise 48 

Yes!  When the scale factor k=-1, the figure rotates  180 0  but the size and shape don't change.    Exercise 49   a.  Length of the rectangle = 5-(-3)=8 and width of the rectangle =3-(-1)=4  Perimeter = 2*8+2*4=24 units  Area = 8*4=32 square units    b.  Length of the dilated rectangle = 3*8=24 and width of the dilated rectangle =3*4=12  Perimeter = 2*24+2*12=72 units  Area = 24*12 =288 square units    The perimeter of the dilated rectangle =3 (perimeter of the initial rectangle )  Area of the dilated rectangle = 9 (area of the initial rectangle)    c. Length of the dilated rectangle =  84 = 2  and width of the dilated rectangle  = 44 = 1   Perimeter = 2*2+2*1=6 units  Area = 2*1 =2 square units    The perimeter of the dilated rectangle = (perimeter of the initial rectangle )/4  Area of the dilated rectangle = (area of the initial rectangle)/16    d.  The perimeter of the dilated rectangle =k (perimeter of the initial rectangle )   Area of the dilated rectangle =  𝑘𝑘 2  (area of the initial rectangle)  where k is the scale factor.    Exercise 50   When you reduce a page and place it on the original page, there is always a point that  is in the same place on both pages. This is because when you reduce the page, all of  the points on the original page are scaled down by the same factor. Therefore, the  relative distances between the points on the original page are preserved in the reduced  page. To understand this concept mathematically, let's consider a point P on the original  page with coordinates (x,y), and let's assume that the page is reduced by a factor of r.  This means that the coordinates of P on the reduced page will be (rx,ry). We can see  that the relative distances between the points on the original page are preserved in the  reduced page by comparing the distance between two points on the original page with  the distance between the corresponding points on the reduced page. Let's consider two  points P and Q on the original page with coordinates  ( 𝑘𝑘 1 , 𝑘𝑘 1 )  and  ( 𝑘𝑘 2 , 𝑘𝑘 2 )  respectively.  The distance between these two points can be calculated using the distance formula:  � ( 𝑘𝑘 2 − 𝑘𝑘 1 ) 2 + ( 𝑘𝑘 2 − 𝑘𝑘 1 ) 2    Now, let's consider the corresponding points on the reduced page with  coordinates  �𝑜𝑜 𝑥𝑥 1 , 𝑜𝑜 𝑦𝑦 1 �  and  �𝑜𝑜 𝑥𝑥 2 , 𝑜𝑜 𝑦𝑦 2 � .   The distance between these two points can also be calculated using the distance formula:  ��𝑜𝑜 𝑥𝑥 2 − 𝑜𝑜 𝑥𝑥 1 � 2 + �𝑜𝑜 𝑦𝑦 2 − 𝑜𝑜 𝑦𝑦 1 � 2   

We can simplify this expression using the fact that  𝑜𝑜 𝑥𝑥 1 = 𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑟𝑟  and  𝑜𝑜 𝑦𝑦 1 = 𝑟𝑟 𝑦𝑦 𝑟𝑟 , and similarly for  the other point:  �� 𝑥𝑥 2 −𝑥𝑥 1 𝑟𝑟 � 2 + � 𝑦𝑦 2 −𝑦𝑦 1 𝑟𝑟 � 2  We can see that the expression on the right-hand  side is simply the original distance formula divided by r. This means that the distance  between the two points on the reduced page is scaled down by the same factor as the  page itself, so the relative distances between points are preserved.   Therefore, we can conclude that there is always a point that is in the same place on  both the original and reduced pages, as long as the reduction is done by the same  factor in both dimensions.    Exercise 51   𝐴𝐴 ′ (4,4), 𝐵𝐵 ′ (4,12)  𝐼𝐼𝑛𝑛𝑎𝑎   𝐶𝐶 ′ (10,4)       Exercise 52  ( 𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 ) → ( 𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 − 4)  𝐴𝐴 (2, − 1) → 𝐴𝐴 ′ (2, − 5)  𝐵𝐵 (0,4) → 𝐵𝐵 ′ (0,0)  𝐶𝐶 ( − 3,5) → 𝐶𝐶 ′ ( − 3,1)     Exercise 53  ( 𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 ) → ( 𝑘𝑘 − 1, 𝑘𝑘 + 3)  𝐴𝐴 (2, − 1) → 𝐴𝐴 ′ (1,2)  𝐵𝐵 (0,4) → 𝐵𝐵 ′ ( − 1,7)  𝐶𝐶 ( − 3,5) → 𝐶𝐶 ′ ( − 4,8)     Exercise 54  ( 𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 ) → ( 𝑘𝑘 + 3, 𝑘𝑘 − 1)  𝐴𝐴 (2, − 1) → 𝐴𝐴 ′ (5, − 2)  𝐵𝐵 (0,4) → 𝐵𝐵 ′ (3,3)  𝐶𝐶 ( − 3,5) → 𝐶𝐶 ′ (0,4)     Exercise 55 

( 𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 ) → ( 𝑘𝑘 − 2, 𝑘𝑘 )  𝐴𝐴 (2, − 1) → 𝐴𝐴 ′ (0, − 1)  𝐵𝐵 (0,4) → 𝐵𝐵 ′ ( − 2,4)  𝐶𝐶 ( − 3,5) → 𝐶𝐶 ′ ( − 4,5)     Exercise 56  ( 𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 ) → ( 𝑘𝑘 + 1, 𝑘𝑘 − 2)  𝐴𝐴 (2, − 1) → 𝐴𝐴 ′ (3, − 3)  𝐵𝐵 (0,4) → 𝐵𝐵 ′ (1,2)  𝐶𝐶 ( − 3,5) → 𝐶𝐶 ′ ( − 2,3)     Exercise 57  ( 𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 ) → ( 𝑘𝑘 − 3, 𝑘𝑘 + 1)  𝐴𝐴 (2, − 1) → 𝐴𝐴 ′ ( − 1,0)  𝐵𝐵 (0,4) → 𝐵𝐵 ′ ( − 3,5)  𝐶𝐶 ( − 3,5) → 𝐶𝐶 ′ ( − 6,6)