Summary of Main Ideas

p {margin: 0; padding: 0;} .ft00{font-size:20px;font-family:Arial;color:#000000;} .ft01{font-size:18px;font-family:ArialMT;color:#000000;} .ft02{font-size:18px;line-height:23px;font-family:ArialMT;color:#000000;} Summary of main ideas As we know, the gradient of a function is perpendicular to the curve at any point onthe curve. Our boundary is a level surface, and so would be the gradient of itsassociated function.The second thing that we know is that the boundary vector is perpendicular to thegradient of f at the maximum point. So at this point, both of these vectors areperpendicular to the boundary, and that means that they have to be going in thesame direction. So at a typical point, they're going in two different directions.When grad f and grad g are perpendicular to the boundary, they are both in the samedirection. However, when grad f is not perpendicular to the boundary and grad g isperpendicular to the boundary, then it could be that they are both moving in the samedirection or opposite directions. And what does it mean to be in the same direction or opposite directions? Then wecan think of grad f as lambda times grad g. And lambda might be positive if they'regoing in the same direction, and it might be negative if they're going oppositedirections. There are four steps to this thought process, each one of which we have practicedseparately but that must now be combined.