Solving Systems of Equations: Methods and Examples

Math A100                        IUSB              Sec. 4.1  –  4.3   detailed notes  –  Week 6  Solving Systems of Equations  Systems of Equations are when you have two different lines on the same grid. I am be presenting Sec. 4.1  –  4.3  together  (even though section 4.3 is in Week 7), because they give you three different methods for solving these types of questions:  1)   By graphing  2)   By Substitution  3)   By Elimination  You  WILL  have to be able to use  Method 1  –  Graphing , but  you don ’ t have to learn both Substitution and Elimination  –   you can use the one you can wrap your head around better.  So, for HW, Quizzes, and Tests, if the directions say to either  Substitution or Elimination  –  you can ignore the directions and use the method you are more comfortable with. (How is  MML going to know which method you used??    What is a  “ solution ”  in a System of Equations?  A  “ solution ”  is math is a value that makes the equation true/work. In a Systems of Equations, you have  two  equations  (i.e. lines/linear equations), so you are looking for the  ONE  point that works in both equations.    Determining if a point is a  “ solution ”   In order for a point/ordered pair to be a solution, it has to work in BOTH equations, i.e. it has to be on both lines. So, to  find out, simply plug the x & y coordinates into both equations to see if it works in both.   NOTE:   If a point/ordered pair works in one but not the other, then it is  NOT  a solution.  Example 1: Is the ordered pair ( 3 ,  7 ) a solution for the following system of equations:     y = 2x + 1     y = 5x  –  8   Plug (3, 7) in each equations separately to see if it works:      For y = 2x + 1      7  = 2( 3 ) + 1       7 = 6 + 1 = 7      ( 3 ,  7 ) works for y = 2x + 1    For y = 5x  –  8       7  = 5( 3 ) - 8         7  = 15  –  8 = 7     ( 3 ,  7 ) works for y = 5x  –  8  Since ( 3 ,  7 ) works in BOTH equations, then ( 3 ,  7 ) is a solution for this system of equations  .  Example 2: Is the ordered pair ( -2 ,  5 ) a solution for the following system of equations:     y = -2x + 1     y = 3x - 9  

Plug (3, 7) in each equations separately to see if it works:      For y = -2x  –  1      5  = -2( -2 ) + 1       5 =  4 + 1 = 5      ( -2 ,  5 ) works for y = -2x + 1     For y = 3x + 9      5  = 3( -2)  - 9         5   = -6 - 9 =  -15      Not True    ( -2 ,  5 ) does N0T works for y = 3x - 9     Since ( -4 ,  5 ) does  not  works in BOTH equations, then ( -4 ,  5 ) is  NOT  a solution for this system of equations    Finding a  “ solution ”  to a System of Equations  As mentioned above, there are three ways to find a  “ solution ”  for a system of equations:  1)   By graphing  2)   By Substitution  3)   By Elimination  Let ’ s look at each.    Graphing  Believe it or not, you already know how to do this one:  1)   Graph each line separately on the same grid. You can use your choice of below to do so:  a.   Plotting points  b.   Finding and plotting the intercepts  c.   Put the equation in y = mx + b form and graph it   2)   The solution is the point/ordered pair where the lines cross  NOTE:   you are  required  to know how to do this method     Example 1 (from above): Find the solution for the following system of equations.  y = 2x + 1       y  = 5x  –  8   1)   Graph each line on the same  grid.  y = 2x + 1 is the orange line & y = 5x  –  8 is the blue line         

           2)   The lines cross at (3, 7) so it is your solution.    Example 2 (from above): Find the solution for the following system of equations.  y = -2x + 1         y = 3x - 9    1)   Graph each line on the same grid. y = -2x + 1 is the orange line & y = 3x  –  9 is the blue line                  2)   The lines cross at (2, -3) so it is your solution.    NOTE:  the solution is a point, i.e. an ordered pair, so make sure you write your answer as an ordered pair.     There are a few issues with using graphing:     1)   What if the lines cross in the middle of one of those squares?  2)   What if the lines cross somewhere off the grid?  So, we need another method (or two) to use.    Substitution  To use Substitution to solve a system of equations, follow the steps below: 

1)   Get either  “ x ”  or  “ y ”  by itself in one of the equations. It does not matter whether you pick  “ x ”  or  “ y ” .  You may have to change one of the equations into y = mx  + b form   2)   Substitute this equation into the other equation. Why on earth would you do this    to get down to only 1 variable, so now it is Chapter 1 type question!    3)   Solve for whichever variable you have   4)   Once you have either x = ____  or y = _______, plug it into either of the equations to find the other variable.   5)   Check your solution in the other equation.    Example 1 (from above): Find the solution for the following system of equations.  y = 2x + 1       y = 5x  –  8       Steps:  1)   You already have y by itself in both equations   2)   Substitute it into the other equation 2x + 1 = 5x  –  8    3)   Solve for whichever variable you have 2x + 1 = 5x  –  8  subtract 2x from both sides to get:  1 = 3x  –  8    add 8 to both sides to get:  9 = 3x    divide by 3 to get:  3 = x    4)   Plug into the either equation to find y: y = 2x + 1    plug in 3 for x  y = 2(3) + 1    do the math  y = 6 + 1 = 7  y = 7        Your solution is ( 3,  7 )   5)   Checking:   y = 5x  –  8      7  = 5( 3 )  –  8     7  =  15   –  8 =  7    it works!      Example 2: Find the solution for the following system of equations.  2x + y = 1        -3x + y = - 9        Steps:  1)   Get either  “ x ”  or  “ y ”  by itself in one of the equations.  

Using  2x + y = 1   Subtract 2x from both sides, giving you:      y =  -2x + 1     2)   Substitute it into the other equation  -3x + y = - 9  becomes  -3x + ( -2x + 1 ) = - 9         3)   Solve for whichever variable you have -3x + ( -2x + 1 ) = - 9    clean it up to get:  -3x +  -2x + 1  = - 9    combine like terms to get:  -5x + 1  = - 9     subtract 1 from both sides to get:  -5x   = - 10       divide by -5 to get:  x = 2    4)   Plug into the either equation to find y: 2x + y = 1    plug in 2 for x  2( 2 ) + y = 1    do the math    4   + y = 1  y = -3        Your solution is ( 2,  -3 )   5)   Checking:   -3x + y = - 9      -3( 2)  +  -3  = -6 +-3 = - 9    it works!    Elimination  Another way you can solve a System of Equations is by using Elimination.  To use Elimination to solve a system of equations, follow the steps below:  1)   Get all 4 parts of both equations lined up:  “ x ” ,  “ y ” ,  “ = ” , extra number    2)   Change one or both equations (if necessary) to get either the x ’ s or y ’ s opposite of each other in the two  equations.   3)   Add the equations. Why on earth would you do this    to get down to only 1 variable, so now it is Chapter 1 type question!    NOTE :  you should have only x ’ s or y ’ s left after adding . If you still have both left, you have done something  wrong!   4)   Solve for whichever variable you have   5)   Once you have either x = ____  or y = _______, plug it into either of the equations to find the other variable.   6)   Check your solution in the other equation.  Example 1 (from above): Find the solution for the following system of equations.  y = 2x + 1 

     y = 5x  –  8       Steps:  1)   You already have all four parts lined up   2)   Multiply the 2 nd  equation by -1 to make the y ’ s opposite:  -1(y) = -1(5x  –  8)      -1y = -5x + 8   So your  “ new ”  equations are:    y = 2x + 1        -1y = -5x + 8     3)   Add the equations    1y = 2x + 1  +   -1y = -5x + 8  0 = -3x + 9   4)   Solve for the variable you have: 0 = -3x + 9    subtract 9 from both sides to get:  -9= -3x    divide by -3 to get:  3 = x     5)   Plug in 3 for x to find y  y = 2x + 1  y = 2( 3 ) + 1     y = 7           Your solution is ( 3,  7 )   6)   Checking:   y = 5x  –  8      7  = 5( 3 )  –  8     7  =  15   –  8 =  7    it works!      Example 2: Find the solution for the following system of equations.  2x = 1 - y        -3x + y = - 9        Steps:  1)   Get all four parts lined up.  Add  “ y ’  to both sides on the top equation to do so.     2x + y =  1  -3x + y = - 9    

2)   Multiply the 2 nd  equation by -1 to make the y ’ s opposite:   -1(-3x + y) =-1(- 9)  becomes  3x - y = 9      3)   Add the equations    2x + y = 1   +  3x - y = 9         5x     = 10    4)   Solve for the variable you have : 5x     = 10    do the math     x =  2     5)   Plug in  2  for x to find y   2x = 1 - y 2( 2 ) = 1 - y   4 = 1  –  y  3 = -y  -3 = y        Your solution is ( 2,  -3 )   6)   Checking:   -3x + y = - 9      -3( 2)  +  -3  = -6 +-3 = - 9    it works!      NOTE:  Systems of Equations that have  one solution  are also referred to as   Consistent and Independent.    NOTE (again):  You do NOT have to learn both Substitution AND Elimination . Pick the one you like  best  and use it!    Special Cases  We have, unfortunately, 2 special cases to deal with:  1)   One is where there is  No Solution.  2)   The other is where we have  Infinitely Many  solutions.    No Solution  Recall that the  “ solution ”  to these types of questions is the one point what works in BOTH equations. In order for there  to be  NO Solution , we have to have a situation where no points work.   

NOTE:  Systems of Equations that have  No Solution  are also referred to as  Inconsistent.   Example: Solve the following System of Equations          y = 1/2x  –  4  the blue line          2y = x + 6  the orange line  1)   By Graphing   –  following the steps above, when you graph both lines on the same grid, you get:                            As you can see, the lines DON ’ T cross, so there is no point that works    No Solution     NOTE :  Parallel lines have  No Solution      2)   By Substitution  y = 1/2x  –  4             2y = x + 6         Substituting in gives you:                  2 ( 1/2x  –  4 )  = x + 6       Distributing gives you:        2 ( 1/2x)  –   2( 4 )  = x + 6       Cleaning it up:          x - 8  = x + 6       Subtract  “ x ”  from both sides gets you:    -8 =  6    NOT TRUE     No Solution    3)   By Elimination  y = 1/2x  –  4               2y = x + 6     Multiply the 1st equation by -2:   -2( y) = - 2( 1/2x  –  4 )          Gives you:    -2y = -1x + 8  Now add the equations together:    -2y = -1x + 8 

          +      2y = x + 6                    0 = 14    NOT TRUE    No Solution    Infinitely Many  solutions .    Recall that the  “ solution ”  to these types of questions is the one point what works in BOTH equations. What if  you have a whole bunch of points that are on both lines???    The only way for that to happen is if the lines are on top of each other!!    NOTE:  Systems of Equations that have  Infinitely Many solutions  are also referred to as   Consistent and Dependent    Example: Solve the following System of Equations          y = 1/2x  –  4  the blue line          2y = x - 8  the orange line  1)   By Graphing   –  following the steps above, when you graph both lines on the same grid, you get:                            As you can see, the lines are on top of one another, so you have  Infinitely many Solutions.           2)   By Substitution  y = 1/2x  –  4             2y = x  - 8         Substituting in gives you:                  2 ( 1/2x  –  4 )  = x - 8       Distributing gives you:        2 ( 1/2x)  –   2( 4 )  = x - 8       Cleaning it up:          x - 8  = x - 8  

    Subtract  “ x ”  from both sides gets you:    -8 =  - 8  ALWAYS TRUE     Infinitely many Solutions     3)   By Elimination  y = 1/2x  –  4               2y = x - 8     Multiply the 1st equation by -2:   -2( y) = - 2( 1/2x  –  4 )          Gives you:    -2y = -1x + 8  Now add the equations together:    -2y = -1x + 8            +      2y =    x - 8                   0 =  0       ALWAYS TRUE     Infinitely many Solutions       Word Questions  In real life, you are not given equations straight out. Instead, you are given a word question situation. In these cases, you have to write the equations yourself, then solve them using Substitution or Elimination. First decide what variables you should use, then see if there are two  “ topics ”  the word question is talking about to make your equations.        Example 1: 25 people go to a play, adults & kids. Adult ’ s tickets are $8 each. Kid ’ s tickets are $5 each.  The total receipts for the play is $176.  How many adults and how many kids attended?  Let ’ s call the number of adults = a   and   the number of children = c    The questions talks about 1) number of people attending, and 2) $$      If 25 people go to the play and they are adults,  “ a ” , and children,  “ c ” , then   # of adults + # of children = 25 people attending, so  a + c = 25      your 1 st  equation    total $$ was 176. Adult tickets are $8 and children ’ s are $5.  $8(# of adults) + $5(# of children) = $176, so        8a + 5c = 176    your 2 nd  equation   Your 2 equations are:  a + c = 25  8a + 5c = 176         Use Substitution or Elimination to get:  Answer: a =  17 adults    , c =  8 children    Example 2:  At a clothing store, all items of the same type are a fixed price (i.e. all shirts are the same price). If one pair of pants and three shirts cost $60, and three pairs of pants and four shirts cost $110, then find the price of one shirt and one pair of pants. 

Let ’ s call the number of price of pants = p   and   the price of shirts = s      The questions talks about 2 different shoppers and how much each spent.    Shopper 1:   buys one pair of pants and three shirts at a cost of $60     1p + 3s = 60     1st equation    Shopper 2: buys three pairs of pants and four shirts at a cost of $110    3p + 4s = 110      2 nd  equation          Your 2 equations are:  1p + 3s = 60  3p + 4s = 110    Use Substitution or Elimination to get:   Answer: p = $18 , s = $14  Videos that may help:  Solve Linear systems by Graphing  http://www.youtube.com/watch?v=cauaqqwAWCE   Solve a System of Linear Equations by the Substitution Method  http://www.youtube.com/watch?v=oUC931TcBuw   http://www.youtube.com/watch?v=MIXL35YRzRw   http://www.youtube.com/watch?v=j_BsjiDF8_4   Solve a System of Linear Equations by the Addition Method (Elimination by Addition)  http://www.youtube.com/watch?v=ova8GSmPV4o   No Solutions  http://www.youtube.com/watch?v=kTtKfh5gFUc   http://www.youtube.com/watch?v=z5_ACYtzW98   Infinitely Many Solutions  http://www.youtube.com/watch?v=Pcqb109yK5Q    http://www.youtube.com/watch?v=NRxh9Q16Ulk