Understanding Bases, Exponent Rules, and Special Cases

Math A-100                    IUSB      Sec 1.7 detailed notes  –  Week 2    Exponents   Exponents are NOT real numbers  –  they are simply a short-hand way of writing out longer multiplication questions.  There are two parts to each number with an exponent: the  base  and the  exponent           For example:     5 4     the  base  is 5 and the  exponent  is 4    Exponents only apply to whatever is immediately to the left of the exponent itself,  i.e. if the exponent is next to a ( ) then  it applies to the entire (  ), but if the exponent is next to just the number, then only the number it repeated.      Example 1:      (-5) 4      (-5)*(-5)*(-5)*(-5) = 625      Compared to:          -5 4       -5*5*5*5 = -625    NOTE:   the exponent is next to the 5 (not the  “ - “  sign),  so only the 5 gets repeated    Example 2:        (2/3) 4     (2/3)*( 2/3)*( 2/3)*( 2/3) = 16/81  Compared to:          2 4      2*2*2*2 = 16               3             3            3              Example 3:        4x 6   means   4*x*x*x*x*x*x       Compared to:  (4x) 6   means   4x*4x*4x*4x*4x*4x               When 0 is the Exponent  When 0 is the exponent, you have a special case, because the answer is 1:  Example 1:    7 0  =  ??  Let ’ s walk it down from a larger exponent to see why the answer is 1  7 4  = 7*7*7*7    to go from 7 4  to 7 3 , divide by 7, giving you:  7 3  = 7*7*7    to go from 7 3  to 7 2 , divide by 7, giving you  7 2  = 7*7    to go from 7 2  to 7 1 , divide by 7, giving you  7 1  = 7      to go from 7 1  to 7 0 , divide by 7, giving you  7 0  = 1   

  It also works with variables.  Example 1:    x 0  =  ??  Following the method used in Example 1:  x 4  = x*x*x*x    to go from x 4  to x 3 , divide by x, giving you:  x 3  = x*x*x    to go from x 3  to x 2 , divide by x, giving you  x 2  = x*x    to go from x 2  to x 1 , divide by x, giving you  x 1  = x      to go from x 1  to x 0 , divide by x, giving you  x 0  = 1      Exponents outside the (  )   If you have an exponent outside of the (    ), the exponent applies to  everything  inside the (  ). Think of it as  ___ sets of each number inside the (  ).  Then you can move the numbers with the negative exponents to make the exponents positive, and simplify.    Steps:   a)   Apply the outside exponent individually to each number inside the (  )  b)   Calculate how many of each of the numbers you now have  c)   Move any numbers with negative exponents to make the exponents positive  d)   Simplify the fraction       Example 1:      5 3        4                               2 6        a)   (5 3 ) 4   (2 6 ) 4      b)   4 sets of 3 = 12 and 4 sets of 6 = 24, giving you  5 12   2 24      c)   Move the numbers to change the negative exponents into positive exponents  2 24   5 12       Example 2:   write with positive exponents only:      x 7         3                               y 9   a)   (x 7 ) 3  

(y 9 ) 3        b)   3 sets of 7 = 21 and 3 sets of 9 = 27, giving you  x 21   y 27          Dividing numbers with exponents  When you are given numbers in exponents and asked to divide them:  1)   Try it this way:  a.   Write out the number showing how many of each you have, according to the exponent  b.   Cancel out the exponents into one single power of 10    Example 1:   10 7   10 5     (10 7 ) = 10*10* 10 * 10 * 10 * 10 * 10    =  10 2   (10 5 )  10 * 10 * 10 * 10 * 10    Example 2:   6 8   6 2     6 2    = ____ 6 * 6 ________    =  1  6 8        6*6*6*6*6*6* 6 * 6       6 6        Example 3:   x 9   x 5     x 9  = x*x*x*x* x * x * x * x * x    =  x 4   x 5   x * x * x * x * x    NOTE:   Did you notice the short-cut?  Cancelling out the numbers in the top and bottom is the same as subtracting them.     

Order of operations with exponents, solving equations involving exponents   As noted before, there is no such thing as the  Order of Operations , because there is no 1 set order that works in every  question. Each question must be taken on a case-by-case basis.  Forget all about  PEMDAS, because it is a lie.  Again, some things to think about/why we handle some things early on:   Exponents  –  they are simply short-hand, numbers with exponent are NOT REAL numbers, so we have to  find out what the REAL number is      Parentheses  –  they are like a  “ bag ”  containing a single value. We have to find out what that single value  is BEFORE we can go on      Multiplying  –  this represents  “ groups of ____ ” . We need to find out how many total pieces you have      Dividing  –  this represents breaking something up into smaller groups, so we need to find out how many  are in each smaller group before we go on      Adding  –  we need to know how many we have before we can add more to it      Subtracting - we need to know how many we have before we can take some away from it.    NOTE:   Brackets,  [    ], mean the same thing as parentheses,  (  ), i.e. a  “ bag ” . They are sometimes both used in the same  question to help you keep things straight, because 3(7 - 8(6  –  (-9))) can get pretty confusing.           Example 1:    simplify:  (3/4) 2  * (5/6) 2            (3/4) 2  * (5/6) 2       Do exponent first, because they are not real numbers, giving you:        9/16 * 25/36    then do the multiplying, giving you        225/576    which does not reduce      Example 2:    simplify:  (1/3  + 1/4)*(1/5) +  (1/2) 3          (1/3  + 1/4)*(1/5) +  (1/2) 3   Do exponent first (not real numbers), giving you:        (1/3  + 1/4)*(1/5) +  1/8   Do the ( )  with the +, as it represents 1 single value  (7/12)*(1/5) + 1/8    Do the *, as it represent  “ groups ”   7/60 + 1/8      finish it   7/60 + 1/8      21/240 + 30/240        51/240   which reduces to 17/80       Example 3:    simplify:       3 3  -  4 2      6 2   –  (-8)   2    3 3  -  4 2       Do exponents first (not real numbers), giving you: 

6 2   –  (-8)   2     27   -  16      Do  “ - “  on top & on bottom, as they represent a single value each  36  –  64      11   which simplifies to     _    11   -28                           28              Solving Equations   You will get a wide variety of different looking equations and ask you to solve for the variable, usually  “ x ” . My best  suggestion is to keep the following phrase in mind:  Undo what they gave you :      Example 1:    3x = 18  They gave you  “ 3 multiplied by x ”  so use division to undo the multiplication, i.e. divide both sides by 3            3x/3 = 18/3      x = 6    Example 2:    x  - 3 = 18  They gave you  “ x subtract 3 ”  so use addition to undo the subtraction, i.e. add 3 to both sides:            x  –  3 + 3 = 18 + 3    x = 21    Example 3:    sqrt(x) = 8  They gave you  “ square root of x ”  so square both sides to undo the square root:            [Sqrt(x)] 2   = [8] 2      x = 64    Example 4:    x 2  = 49  They gave you  “ x squared so take the square root of both sides to undo the square:            Sqrt(x 2 )  = sqrt[49]      x = 7    Example 5:    3x = 18        4   They gave you  “ 3/4 multiplied by x ” . When working with fractions, you have a few options:   

a)   use division to undo the multiplication, i.e. divide both sides by 3/4   3x divide by 3  = 18 divided by 3     giving you:        4          4               4    x = 18 divided by 3     flip to multiplication & flip the fraction:                          4                  x = 18 *  4     which gives you:                          3           x  = 24  b)   since you end up flipping the fraction and multiplying anyway, just go there directly and skip the first part:   3x * 4  = 18 * 4     giving you:        4      3            3   x = 18 *  4     which gives you:                          3           x  = 24    c)   break it up and do it in parts:  3x = 18        4    They gave you  “ 3 multiplied by x ”  &  “ x divided by 4 ” , so undo each one separately  Multiply by 4 to undo the dividing by 4  3x *  4  = 18 * 4    which gives you:        4          3x = 72      then divide both sides by 3 to undo the multiplying:  3x/3 = 72/3     which gives you  x = 24      Example 6:    .4x = 18   Decimals are just like whole numbers.   they gave you  “ .4 multiplied by x ”  so use division to undo the multiplication, i.e. divide both sides by .4            .4 x/ .4  = 18/.4          x = 45   

Other strategies to consider:  1)   Proportions   –   make it into a proportion and:   a.   Cross multiply if the bottoms of the fractions are different  b.   Clear the fractions if the bottoms of the fractions are the same    Option a. Cross multiply if the bottoms of the fractions are different    Example 1:    3x = 18      4    Turn it into 3x = 18         4      1    then cross multiply: (3x)(1) = 18*4      3x = 72    x = 24    Example 2:    3 = 18      4x    Turn it into _3_ = 18         4x      1    then cross multiply: (3)(1) = 18(4 x)     3 = 72x    x = 3/72 = 1/24  Example 3:    3 + x = 18        4    Turn it into _3 + x_ = 18         4              1    then cross multiply: (3 + x))(1) = 18(4 )     3 + x = 72    x = 69    Example 4:    3 + x = 18 - x        4    Turn it into _3 + x_ = 18 - x         4              1    then cross multiply: (3 + x))(1) = (4 )(18  –  x)     3 + x = 72  –  4x       3 + 5x = 72    5x = 69     x = 69/5       Option b.     Clear the fractions  if the bottoms of the fractions are the same      “ Clearing the Fractions is a technique that a lot of students like, and GREATLY reduces their stress  level!!  

To  “ Clear the Fractions ” :  1)   Get the bottom numbers the same for ALL numbers (including any whole numbers)   2)   Cross out ALL the bottom numbers and re-write the equation        Fractions are  GONE . The equations looks like a normal equation now.      Revisiting Example 1 (above):     3x = 18              4    Re-write with 18 as a fraction, turning it into   3x = 18                       4      1    Make the bottoms the same:  3x = 18  becomes   3x = 72                       4      1       4      4    Cross out the bottoms and re-write: 3x = 72  becomes    3x = 72                                   4      4      Solve like normal:  3x = 72       x = 24     same answer as above      Revisiting Example 2 (above):    3 = 18              4x    Turn it into   _3_ = 18             4x      1    Make the bottoms the same:  3 = 18  becomes     3 = 72x                      4x    1       4x      4x    Cross out the bottoms and re-write:   3 = 72x  becomes    3 = 72x                                   4x      4x      Solve like normal:  3 = 72x       x = 1/24     same answer as above       Revisiting Example 3 (above):     3 + x = 18                4    Turn it into _3 + x_ = 18                   4              1    Make the bottoms the same:  3 + x = 18      becomes   3 + x = 72                       4          1           4      4    Cross out the bottoms and re-write: 3 + x = 72  becomes    3  + x = 72                                      4      4  

   Solve like normal:  3 + x = 72       x = 69     same answer as above         Example 4:    3 + x = 6 -   x         2    5            4    Turn it into   _3 + x =  6 -  x           2     5    1     4   Make the bottoms the same    smallest number 2, 4, & 5 all go into is 20    3 + x =  6    –   x  becomes   30  +   4 x =  120    –    5 x        2    5     1       4      20      20        20          20     Cross out the bottoms and re-write:   30  +   4 x =  120    –    5 x  becomes   30  +   4 x =  120    –    5 x      20      20       20           20     Solve like normal:    30  +   4 x =  120    –    5 x        9x = 90       x = 10     final answer