Fraction Operations: Multiplying and Dividing Fractions

Math A-100                  IUSB  Sec. 1.5 Notes  –  Week 1  Multiplying fractions  –  no need to change them, because you are finding a  “ part ”  of another  “ part ” . You have two  options:  a)   You can  “ multiply across the top ”  (i.e. multiply the two top numbers) and  “ multiply across the  bottom ”  (i.e. multiply the two top numbers), then reduce the fraction.         Example:     3/8 x 6/11 = ?          3 x 6 = 18 and 8 x 11 = 88, giving you:          18/88 which reduces to 9/44    b)   You can  “ cross cancel ”  (a.k.a.  “ cancelling ” ) the fractions  –   compare  ( not multiply ) the top of one  with the bottom of the other fraction to see if they reduce, to make the numbers smaller before multiplying.   Example:     3/8 x 6/11 = ?          Nothing goes into both 3 & 11, but 2 goes into both 8 & 6, so take 2 out of each:          3/4 x 3/11 = 9/44  which does not reduce    Multiplying whole numbers & fractions  –  make the whole number into a fraction by putting  “ 1 ”  in the bottom (because  5/1 = 5, it does not change the number at all). Now you have two fractions, so you can multiply them as above.          Example:         3/8 x 7 = ?          Becomes   3/8 x 7/1              21/8       NOTE :   MyMathLab ’ s directions often ask for  “ simplified ”  fractions . An improper fraction like 21/8 is a simplified fraction,  so the answer is correct (i.e. it is okay to use improper fractions).  If you give MyMathLab a mixed number or a decimal  answer when it asks for a  “ simplified fraction ”  then it will mark your answer wrong for not following the directions .    Dividing fractions  –  instead of dividing, we flip the second fraction upside down and multiply the fractions instead. The  new  “ flipped ”  fraction is called the  “ reciprocal ” .            Example 1:    3/8 divided by 6/11 = ?          Flip 6/11 to become 11/6  ( the reciprocal )  and multiply instead          3/8 divided by 6/11  becomes 3/8 x 11/6 =  33/48 which reduces to 11/16   

Example 2:     3/8 divided by  7 = ?          Make 7 into 7/1, and flip it to become 1/7 ( the reciprocal ) and multiply instead          3/8 divided by 7  becomes 3/8 x 1/7 =  3/56   which does not reduce        NOTE:   Why does this work?  Think of it this way:          1 dozen divided by 2 = 6          ½ of a dozen = ½ x 1 dozen = 6          2 = 2/1, so dividing by 2/1 is the same as multiplying by 1/2    Adding or subtracting fractions  –  to add fractions, we are adding parts together to see how many total we have (or have  left). In order to do that,  all the parts must be the same size . i.e. the bottom numbers MUST be the same. So, we need to  change each fraction into a form with the same bottom number.         Example 1:     3/8  +  7/10 = ?        the bottoms are not the same, so the  “ parts ”  are not all the same size.        Both 8 and 10 can be  changed into size 40  (or 80 if you like):  8 x 5 = 40 and 10 x 4 = 40        So make 3/8 into (3 x 5)/(8 x 5) = 15/40 and make 7/10 into (7 x 4)/(10 x 4) = 28/40        Now we have 15 pieces that are  size 40  and 28 pieces that are  size 40 , giving us a total of   15 + 28 = 43 pieces that  are size 40 , which can be written as 43/40    Example 2:     1/4  +  7/10 = ?        the bottoms are not the same, so the  “ parts ”  are not all the same size.        Both 4 and 10 can be  changed into size 20  (or 40 if you like):  4 x 5 = 20 and 10 x 2 = 20        So make 1/4 into (1 x 5)/(4 x 5) = 5/20 and make 7/10 into (7 x 2)/(10 x 2) = 14/20        Now we have 5 pieces that are  size 20  and 14 pieces that are  size 20 , giving us a total of   5 + 14 = 19 pieces that are  size 20 , which can be written as 19/20    NOTE :  you can subtract fractions the same way , except you will subtract instead of adding once the parts have the  “ same size ”   Questions with multiple things going on,  a.k.a .  Order of Operations  First off, there is no such thing as the  Order of Operations , because there is no 1 set order that works in every question.  Each question must be taken on a case-by-case basis.  Forget all about  PEMDAS, because it is a lie.  Here are some things to think about and why we handle them earlier than other things:  

    Exponents  –  they are simply short-hand, numbers with exponent are NOT REAL numbers, so we have to  find out what the REAL number is      Absolute values - |__| is not a real number either, so we need to find out what the real number is  before we can go on      Square roots -       __     is also not a real number, so we need to find out what the real number is before  we can go on      Parentheses  –  they are like a  “ bag ”  containing a single value. We have to find out what that single value  is BEFORE we can go on      Multiplying  –  this represents  “ groups of ____ ” . We need to find out how many total pieces you have      Dividing  –  this represents breaking something up into smaller groups, so we need to find out how many  are in each smaller group before we go on      Adding  –  we need to know how many we have before we can add more to it      Subtracting - we need to know how many we have before we can take some away from it.        Example 1:  simplify:    7  –  4(5 + (6  –  3 2 ) 2 )          Steps:   3 2  is not a real number, so find out what that real number is and replace it              3 2  = 9    replacing it gives us            7  –  4(5 + (6  –  9) 2 )              (6  –  9) is a package, so find out what single value is it and replace              6  –  9 = -3    replacing gives us            7  –  4(5 + (-3) 2 )              (-3) 2   is not a real number, replace it               (-3) 2  = (-3)(-3) = 9  replacing it gives us            7  –  4(5 + 9)              (5 + 9) is a package, so replace it              5 + 9 = 14  replacing it gives us            7  –  4(14)   you now have 4 groups of 14, find the total and replace it              4(14) = 56   replacing it gives us            7  –  56            -49    Example 2:  simplify:    (-13  –  5)/6 - 2(-4 + 9)              Both (-13  –  5) and (-4 + 9) are packages, so replace them                -13  –  5 = -18 and -4 + 9 = 5  replacing gives us 

            (-18)/6  –  2(5)                -18/6 is breaking it up into groups, so replace it                -18/6 = -3  replacing gives us              -3  –  2(5)                2(5) mean 2 groups of 5 so replace it                2(5) = 10    replacing gives us              -3  –  10              -13