CONTRIBUTIONS OF ANCIENT CIVILIZATION: CHINESE

CONTRIBUTIONS OF ANCIENT CIVILIZATION:  CHINESE  China  representing  one  of  the  earliest  civilizations  in  the  world,  has  a  recorded  history  of about  3600  years.  It  possesses  rich  historical  documents  and  ancient  relics.  China  passed through  the  stages  of  primitive  society,  slave  society  and  feudal  society.  During  middle decades  of  19th  century,  capitalists  forces  of  foreign  countries  invaded  china  and  China was slowly transformed into a semi-colonial and semi- feudal society.  Ancient Chinese Mathematics  Relatively  little  is  known  about  early  Chinese  mathematics  because  they  wrote  on bark  and  bamboo  that  were  far  more  perishable  than  clay  tablets  or  papyrus.  Chinese produced  some  remarkable  mathematical  feats.  Contained  in  this  are  a  few  but  nowhere near all the details of development of ancient Chinese Mathematics.  1. The Chinese Remainder Theorem (Ta-Yen)  The  basic  format  of  problems  it  was  to  solve  was;  N=a(mod  b)=c(mod  d)=…This meant  that  find  N  such  that  when  divided  by  b  gives  a  remainder  of  and  when  divided by d gives a remainder of c.  Eg:  N=10(mod  12)=0(mod  11)=  0(mod  10)  =4(mod  09)=  6(mod  8)=  0(mod  7)= 4(mod 6)  The method goes like this:  a)   Find the least common multiple of the moduli.  In our eg, moduli are 12,11, 10, 9, 8, 7, 6  Reduce  all  moduli  to  a  multiplication  of  prime  numbers  or  their  powers,  unless  they are prime or a power of a prime alone.  12=2*2*3, 11=11, 10=2*5,9=3*3,8=2*2*2, 7=7,6=2*3  Leave  any  modulus  which  a  prime  or  only  tho  power  of  a  prime  as  it  is.  In  all  the other,  moduli  cancel  out  any  of  these  occurrences.  If  no  numbers  are  left,  assign  it  a  1. The  new  relatively  prime  moduli,  are  called  the  dingshu  and  are  represented  by  mi  for each i.  m1=1, m2=11, m3=5, m4=9,m5=8, m6=7 m7=1  The least common multiple ( yenmu O) is the product of dingshu.  In our case yenmu O =11*5*9*8*7=27720  b) Divide the yenmu by each of the dingshu inturn to get yenshu  Represent these as Mi for each i. Mi={yenmu O)/ mi 

Mi=27720/mi, M1=27720/1=27720, M2=27720/ 11=2520, M3=27720/5=5544,  M4=3080, M5=3465, M6=3960, M7=27720  c)  Subtract  from  each  of  the  yeshu  as  many  copies  of  the  corresponding  dingshu  as possible, and take the remainder  Represent these as ni for each i  N1=27720- 27720*1=0, N2=2520-229*11=1, N3= 5544-1108*5=4, N4=2, N5=1,  N6=5, N7=0  d) Solve for xi using Nixi= 1(mod mi)  These solutions are called the chenglu. When Ni=0, xi=0  x1=x7=0  x2= 1(mod 11), x2=1  x3= 1(mod 5), x3=4  x4= 1(mod 9), x4=5  x5= 1(mod 8), x5=1  x6= 1(mod 7), x6=3  e) Multiply each xi by the corresponding Mi and ri  where ri is the original remainder. These solutions are called tsungshu  rMx4= 4x 3080x 5= 61600  rMx5= 6x 3465x 1= 20790  f) Sum these values  61600+20790=82390  g) Reduce the sum by twice the yenmu to get N  82390-2x27720=26950  Therefore, the solution is N=26950  2. Fractions  In  adding  fractions  each  numerator  was  multiplied  by  the  denominators  of  the other  fractions  and  then  all  the  denominators  multiplied  by  one  another.  The numerators were then added.  In  division  by  a  fraction  both  numbers  were  multiplied  by  the  denominators  of  the fraction and then rules similar to those of today were used. 

Subtraction  was  carried  out  by  multiplying  the  numerators  by  the  ultimate  denominators,  subtracting  the  smaller  of  the  two  products  from  the  greater  and dividing the remainder by the product of the denominators    3. Permutations and Combinations  In  relation  to  the  discovery  of  permutations  and  combinations  is  the  chess  board problem.  The  invention  of  chess  in  its  modern  from  involves  work  with  series, permutations  and  combinations  and  probability.  One  of  the  best  known  European medieval  problems  related  to  the  Chinese  chess  board  is  the  problem  involving  the grains. Anothr famous problem is associated with a Thang monk by the name of I-Hsing.  Shen Kua the author of Meng-Chhi Pi Than discusses I-hsing’s method.  4. Rule of Three  Rule  of  Three  is  commonly  considered  as  being  of  Indian  origin.  The  proper founder  is  a  Chinese  man  by  the  name  of  chiu  chang.  This  rule  is  simply  a  proportion involving three knows from which an unknown quantity is found.  Eg: ‘Two and one half picules of rice are purchased for three thirds of a tael of silver.  How many can be purchased for 9 taels?’  If we alter this question by using the modern use of symbolism and the Rule of three,  Solution is  (5/2)/(3/7)=x/9 35/6=x/9 x=(35x9)/6 x=(105/2) picules  5. Systems of Linear equations  Chiu  cahngsuan  ahu  describes  a  method  of  solving  systems  of  linear  equations  as simple,  virtually  identical  to  the  method  of  Gaussian  elimination  and  is  presented  in matrix form.  Eg.  ―  There  are  three  classes  of  grain,  of  which  three  bundles  of  first  class,  two  of  the second  and  one  of  the  third  makes  39  measures.  Two  of  the  first,  three  of  the  second and  one  of  the  third  makes  34  measures.  One  of  the  first,  two  of  the  second  and  three of  the  third  makes  26  measures.  How  many  measures  of  grain  are  contained  in  the one bundle of each class? 

3x+2y+z=39 2x+3y+z=34 x+2y+3z=26  Arranged as vertically  1     2     3  2     3     2  3     1     1  26  34  39  ‘With  the  first  class  on  the  right  column  multiply  currently  the  middle  column  and directly  leave  out’  ie,  multiply  the  middle  column  by  3  subtract  from  it  2  lots  of  the right column.   This reduce middle column to 0. Same operation performed w r t to left column  0 0 3  4 5 2  8 1 1  39 24 39  Same operation performed using middle column and left  0 0 3  0 5 2  36 1 1  99 24 39  Equivalent to  3x+2y+z=39 5y+z=24 36z=99  Final results are found by back substitutions  6. Magic Squares  Discovered  by  Chinese  Emperor  Yu  the  Great  in  2000  B.C.  Yu  presented  two charts  or  diagrams  by  miraculous  animals,  during  his  reign  of  governing  the  empire. They  were  deemed  to  possess  magical  properties. 

Yang  Hui  was  the  first  to  actually  study  magic  squares  or  vertical  and  horizontal diagrams as they were called. Some of the magic squares he made are complicated.  7. Negative numbers  They  were  familiar  with  the  laws  of  signs  as  of  about  +1299.  They  realized  the equations  could  result  in  negative  anwers  but  considered  this  absurd  and  therefore ignored  them.  Two  methods  of  writing  negative  numbers:  in  black  to  distinguish  them from  the  red  positive  numbers  or  drew  a  diagonal  stroke  to  through  the  right  hand digit figure of the negative number.  Chinese Medical Theory  The  primitive  society  of  China  divided  into  two  time  periods:  Old  Stone  Age  and New  Stone  Age.  During  Old  age  knives  were  made  of  stone  and  were  made  for  certain medical  properties.  During  the  New  stone  Age  stones  were  refined  into  fine  needles  and served  as  instruments  of  healing.  They  were  named  bian  stone-  which  means  use  of  a sharp edged stone to treat disease.  a)   Yellow Emperor’s Book of Internal Medicine  The most ancient book on medicine  Transformation from ancient magical healing to a system  Basis of Chinese medical Literature  b)   Influences of Taoism  Everything flows and is in a constant state of flux  Essence of health is to follow the natural tao  Ill health is caused by going against the flow.  In  the  body  Yin  is  active  and  acts  as  guardian  of  yang;  yang  is  active  outside  but regulates Yin The flow of nature is split into five elements.  Yin and Yang is absorbed from food.  Moods related to five elements: anger effects the liver, worry affects spleen, fear and  shock effects blood vessels.  Acupuncture and Moxibustion Theory:  Acupuncture  is  a  very  ancient  form  of  healing  which  predates  recorded  history Thin needles, usually made of stainless steel.  Relieve pain and improve health.  Restores balance. 

Disease and pain all caused by imbalance.  a)   Human Body:  Twelve physical systems (12 paired and 2 unpaired).  Vital life force called chi flows through each meridian.  361 regular acupuncture points 36 extraordinary points.  b)   Moxibustion:  Originated in pre historic China.  Specific sites are simulated by heat instead of inserting needles.  Small cones of dried leaves of wormwood are burned.  Ashes were rubbed into the blisters that formed.  Paper and Printing Technology  Paper  is  made  up  by  tearing  up  rags  or  the  bark  of  trees  or  certain  grasses  and putting  them  into  a  large  pot  with  water.  The  mixture  is  boiled  and  the  pulp  like  mass  that lies  at  the  bottom  is  removed,  strained  and  spread  out  to  dry.The  making  of  paper  was improved  with  sizing,  dyes  and  use  of  moulds  made  out  of  bamboo  stripsThe  invention  of printing  and  improvements  in  papermaking  led  to  the  printing  of  a  whole  set  of  Buddhist sutras by 868.  Gun Powder  The  first  known  recipe  for  saltpeter,  the  principal  ingredient  of  gunpowder  can  be found  in  a  Chinese  military  manual  written  by  Wu  Ching  Tsung  Yao.  Chinese  used gunpowder  in  fireworks  for  religious  purpose,  also  used  gunpowder  in  cannons,  rockets, and guns  The Compass  The  ability  to  magnetize  iron  by  placing  it  near  a  loadstone  was  known  to  ancient civilizations.  Chinese  applied  this  theory  of  this  principle  of  magnetism  to  create  the compass. The early compasses were used in divination rather than in navigation.