RMS Delay

Problem:    Power delay profile is given. Power is given in normal scale.  1.   Calculate rms delay spread ( 𝜎 𝑟𝑚𝑠 )    2.   If the modulation is BPSK find Bit rate  (𝑅𝑏).      |𝑎 𝑖 | 2   𝑖𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒   10. log (|𝑎 𝑖 | 2  𝑖𝑛 𝑑𝐵)   𝜏 𝑖  µ𝑆𝑒𝑐   1  0  1  1  1  2  RMS delay spread   (𝜎 𝑟𝑚𝑠 )       𝜎 𝑟𝑚𝑠 =   √𝜏̅ 2 − (𝜏̅) 2     Where  𝜏̅   is  mean  excess  delay  and  𝜏̅ 2 is  mean  square  excess  delay,  can  be  calculated  using  following equations.    𝑚𝑒𝑎𝑛 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑠 𝑑𝑒𝑙𝑎𝑦, 𝜏̅ =   ∑ |𝑎 𝑖 | 2 𝜏 𝑖 𝐿−1 𝑖=0 ∑ |𝑎 𝑖 | 2 𝐿−1 𝑖=0   𝑚𝑒𝑎𝑛 𝑠𝑞𝑢𝑎𝑟𝑒 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑠 𝑑𝑒𝑙𝑎𝑦, (𝜏̅) 2 =   ∑ |𝑎 𝑖 | 2 𝜏 𝑖 2 𝐿−1 𝑖=0 ∑ |𝑎 𝑖 | 2 𝐿−1 𝑖=0   Calculate mean excess delay:  𝑚𝑒𝑎𝑛 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑠 𝑑𝑒𝑙𝑎𝑦, 𝜏̅ =   ∑ |𝑎 𝑖 | 2 𝜏 𝑖 𝐿−1 𝑖=0 ∑ |𝑎 𝑖 | 2 𝐿−1 𝑖=0   𝜏̅ = (1 × 0) + (1 × 1) + (1 × 2) 1 + 1 + 1   𝜏̅ = 33 = 1   𝜏̅   ≅ 1µ𝑆𝑒𝑐   𝑚𝑒𝑎𝑛 𝑠𝑞𝑢𝑎𝑟𝑒 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑠 𝑑𝑒𝑙𝑎𝑦, 𝜏̅ 2 =   ∑ |𝑎 𝑖 | 2 𝜏 𝑖 2 𝐿−1 𝑖=0 ∑ |𝑎 𝑖 | 2 𝐿−1 𝑖=0  

𝜏̅ 2 = (1 × 0 2 ) + (1 × 1 2 ) + (1 × 2 2 ) 1 + 1 + 1   𝜏̅ 2 = 53 = 1.67   𝜏̅ 2   ≅ 1. µ𝑆𝑒𝑐   RMS delay spread   (𝜎 𝑟𝑚𝑠 )       𝜎 𝑟𝑚𝑠 =   √𝜏̅ 2 − (𝜏̅) 2     𝜎 𝑟𝑚𝑠 =   √1.67 − (1) 2     𝜎 𝑟𝑚𝑠 =  0.816 µ𝑆𝑒𝑐   Symbol duration   𝑇𝑠  =  10𝜎 𝑟𝑚𝑠 = 8.16µ𝑆𝑒𝑐   In BPSK symbol rate = Bit rate ( 𝑅𝑏 ) =  1 𝑇𝑠 = 1 8.16µ𝑆𝑒𝑐 = 122.44 𝐾𝑠𝑦𝑚𝑏𝑜𝑙𝑠/𝑠𝑒𝑐        *note  In QPSK, symbol duration,   𝑇𝑠   =  2𝑇𝑏  i.e., two times bit duration.   So for QPSK,  2𝑥122.44 𝐾𝑠𝑦𝑚𝑏𝑜𝑙𝑠/ sec = 245 𝐾𝑠𝑦𝑚𝑏𝑜𝑙𝑠/𝑠𝑒𝑐