Partial Fractions

Partial Fractions    A rational function   ( )    ( )  ( )  can be expressed as a sum of  simpler fractions, called  Partial Fractions.   1.   Improper rational function   degree of   ( )    degree of   ( )   In the case , we must first perform long division to rewrite the  quotient   ( )  ( )  in the form    ( )    ( )  ( ) .    Example  Transform the following fraction into partial fraction   ( )                                 Solution                                                                       by using long division                           )               ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅                                                                                                                                                                                                                                         ( )                              2.   Proper rational function   degree of   ( )    degree of   ( )   There are different cases for proper rational function.    

Case I     ( )  is a product of distinct linear factors   ( )    ( ) (          )(          )   (          )    Then, to this factor, assign the sum of the     partial fractions:   ( )       (          )       (          )            (          )      Example  Transform the following fraction into partial fraction   ( )                  ,   and then find   ∫  ( )      Solution  Method 1 Solve by substitution                        (   )(   )     (   )     (   )      (   )  (   ) (   )(   )               (     )    (     )     Put                               Put                               ( )     (   )     (   )    Method 2 Solve by equating corresponding coefficients  Coefficients of                         (1)  Coefficients of                       (2)  solving two equations, we get                 ∫ (   (   )     (   ) )          |     |     |     |        

Case II     ( )  is a product of linear factors, some of which are  repeated   ( )    ( ) (          )(          )      (          )      Then, to this factor, assign the sum of the     partial fractions:   ( )       (          )       (          )              (          )        Example  Transform the following fraction into partial fraction   ( )        (   )     ,and then find   ∫  ( )      Solution       (   )       (   )     (   )       (   )        (   )     (   )   (   )               (     )      (     )        Put                          Put                                                 (1)  Put                                                                                                                                (2)   Substitute from equation (2) in equation (1)                                 and              ( )     (   )     (   )       (   )      ∫  ( )      ∫ (   (   )     (   )       (   )    )                             |     |     (   )      (   )         

Case III     ( )  is irreducible quadratic factors and non-repeated   ( )    ( ) (          )    Then, to this factor, the partial fraction is:   ( )        (          )      Example  Transform the following fraction into partial fraction   ( )       (   )(         )  , and then find   ∫  ( )      Solution      (   )(         )        (         )     (   )              (      )(     )    (            )     Put                             Put                                          Put                                          (   )(         )        (         )      (   )    ∫ (      (         ) )      ∫ (    (   )  )            Split up the integral   ∫ (      (         ) )      ∫        (         )                                    =   ∫      (         )      ∫   (   )               ∫      (         )        |(            )|   ….(i) 

and  ∫   (   )                Substitute                                     ∫   (   )           ∫                                 (     )     ….(ii)  and   ∫ (    (   )  )           |     |             …..(iii)  add equations (i), (ii) and (iii)      ∫     (   )(         )           | (            ) |          (     )        |       |            Remember       Try to solve   Transform the following fraction into partial fraction  1-                2-                            3-                    4-                         5-             (      )     6-                   7-                           8-                9-                (      )   10-              (   )   (      )