Applications of Linear Second Order Differential Equations

Second order differential equations  In this chapter we will be looking exclusively at linear second order differential equations                                            (1)  where               are constants  When           , we call the differential equation  homogeneous  and  when            we call the differential equation  nonhomogeneous .  The general solution equals the sum of the homogeneous solution and the particular solution.                    I - The homogeneous solution                                (2)  Let             is a solution of equation (2), then                       and                                                                                                          since                                       This equation is typically called the  characteristic equation .  This characteristic equation is quadratic and so will have two roots       and      .  The roots will have  three  possible forms.  These are   1.   Real and distinct roots                The general solution is                                     

2.   Real and repeated roots ,                  The general solution is                               3.   Complex root                  The general solution is                                           Example 1  Solve the following differential equations  1-                          Solution    The characteristic equation is                                                                                                real & distinct                              2-                         Solution    The characteristic equation is                                                                    real& repeat                                

3-                  Solution    The characteristic equation is                                                          complex                                4-                          Solution    The characteristic equation is                                                            √                       √                                                                                      Try to solve  Solve the following differential equations  1-                             2-                             3-                           4-                            5-                    

II- The Particular solution   In this section we will take a look at the first method that can be used to  find a particular solution to a nonhomogeneous differential equation .                                       1-   IF                       Example 2  Solve the following differential equations                            Solution    The characteristic equation is                                                                                                real & distinct                                    Suppose the particular solution is                      Then, compare      with       if there is a similar term, multiply       by                        Get the first and second derivatives                                                =                                                                              Plugging into the differential equation given                                                                                                                                                      

From equations  1 &  2                                        2-   IF                                        Example 3  Solve the following differential equations                               Solution    The characteristic equation is                                                                                                 real & distinct                                    Suppose the particular solution is                              Get the first and second derivatives                                                                                       Plugging into the differential equation given                                                 Compare the coefficient of                                Compare the coefficient of                                                                                                                                   

                                         from equations  1 &  2                                                        3-   IF                    or                 Example 4  Solve the following differential equations                         Solution    The characteristic equation is                                                                                           real & distinct                                   Suppose the particular solution is                                    Get the first and second derivatives                                                                                                                           Plugging into the differential equation given                                                                                                        Compare the coefficient of                              

Compare the coefficient of                                                               from equations  1 &  2                                           Try to solve  Solve the following differential equations  1.                                          2.                             3.                               4.                         5.