Simplify Polynomial Factoring with These Step-by-Step Methods

    Greatest Common Factor and Factoring by Grouping  Section R.3 Obj. 4        Factoring Out the Greatest Common Factor       Factoring Out the Greatest Common Factor      Step 1   Identify the greatest common factor of all terms of the polynomial.      Step 2   Write each term as the product of the GCF and another factor.      Step 3   Use the distributive property to factor out the greatest common factor.      Note:   To check the factorization, multiply the polynomials.      1.  Factor:  8 6 4 3 8 20 12 20 x x x x − − −         2.   Factor:  3 3 5 7 3 3 13 11 19 y yn y n y n − + −              3.  Factor:    4 6 2 7 3 4 30 12 x y z x y z −           Factoring Out a Negative Factor      If the first term is negative, we usually factor out a negative common factor, or just a   – 1 .     4.  Factor:   2 3 12 18 x x − + −         5.    Factor:   3 2 9 21 18 y y y − + + +        

   6.  Factor:   4 3 15 10 25 u u u − − +               Factoring Out a Binomial Factor   7.  Factor:   5 (2 3) 2(2 3) x x x + − +           8.    Factor:   5 (3 ) 9 (3 ) m m n m − + −          9.    Factor:    2 ( 3) 4 (3 ) x y c y − + −       Note:  Recall that  ( ) b a a b − = − −             Factoring by Grouping                   Factoring by Grouping  To factor a four-term polynomial by grouping:  Step 1:  Identify and factor out the GCF from all four terms  Step 2:  Factor out the GCF from the first pair of terms and the GCF from the second pair of terms.  Step 3:  If the two terms share a common binomial factor, factor out the binomial factor.  

10.  Factor:  2 2 20 25 24 30 x xy xy y − + −           11.  Factor:   3 2 5 4 20 x x x − + −         12.  Factor:   3 2 8 5 40 x x x + − −               13.  Factor:   6 3 3 20 15 16 12 x x x − − +                    

Factoring Trinomials               Section R.3 Obj 5     Factoring Trinomials: AC-Method        The AC-Method to Factor   2 , 0 ax bx c a + +       Step 1    After factoring out the GCF, multiply the coefficients of the first and last terms,  ac .    Step 2   Find two integers whose product is  ac   and whose sum is  b .     (If no pair of integers can be found, then the trinomial cannot be factored further     and is called a  prime polynomial .)    Step 3    Rewrite the middle term  bx   as the sum of two terms whose coefficients are the integers found in step 2.    Step 4    Factor by grouping .       Example:   Factor  2 6 11 10 x x + −        Step 1:  (6)( 10) 60 ac = − = −    Step 2:     Factors of  – 60:    ( – 60)(1) (60)( – 1)            ( – 30)(2) (30)( – 2)            ( – 20)(3) (20)( – 3)            ( – 15)(4)  (15)( – 4) This pair will have a sum of 11.            ( – 12)(5) (12)( – 5)            ( – 10)(6) (6)( – 10)     Step 3:    2 4 10 15 6 x x x − − +    Step 4:    3 (2 5) 2(2 5) x x x + − +      (2 5)(3 2) x x + −           1.  Factor:  2 12 17 5 x x − −         

  2.  Factor:  2 8 6 1 x x + +         3.  Factor:    2 6 11 7 x x − −              4.  Factor:  2 24 4 4 x x − −                   5.  Factor:  2 6 37 6 x x + +             6.  Factor:  2 6 5 6 x x + −         

7.  Factor:  2 6 25 25 a a − − −             8.  Factor:  2 5 18 9 x x − +              Factoring Perfect Square Trinomials     Factored Form of a Perfect Square Trinomial     2 2 2 2 ( )( ) ( ) a ab b a b a b a b + + = + + = +     2 2 2 2 ( )( ) ( ) a ab b a b a b a b − + = − − = −   Example:  Factor:   2 9 12 4 x x + +              Therefore, this is factored as  (3𝑥 + 2) 2    9. Factor:   2 25 60 36 x x − +           ( 3𝑥 ) 2   ( 2 ) 2   2( 3𝑥 )( 2 )  

10. Factor:   2 4 1 4 3 9 x x + +            11.  Factor:  2 36 84 49 x x − +           Factoring by Using Substitution    Example :  Factor  2 3( 1) 2( 1) 21 x x − − − −   Note that the parentheses are not present in all terms, therefore you can't factor it out.  You never want to multiply when you are factoring, it would be like working backwards... Instead, think of the parentheses as a variable, say  p  (for  p arenthesis).  ( 1) p x = −   Then the problem, in terms of  p , would be:              2 3 2 21 p p − −     This is easily factored as           (3 7)( 3) p p + −   Substitute the parentheses back:   (3 7) ( 1) ( ( 3) 1) x x − − + −   Simplify:  (3 3 7)( 1 3) (3 4)( 4) x x x x − + − − = − −     12.  Factor:  2 5( 2) 14( 2) 3 m m + − + −        

13.  Factor:  2 8(3 2) 6(3 2) 1 x x − + − +                     14.  Factor:  2 2 ( 3) ( 5) x x + − +        Hint :  Difference of squares.                         

Factoring Binomials                 Section R.3 Obj 6     Difference of Squares       Factored Form of a Difference of Squares            2 2 ( )( ) a b a b a b − = + −           Any  even  power is a square .      The sum of two squares is not factorable.     Example:    Factor:    2 2 25 9 x y −         2 2 (5 ) (3 ) x y −     Factored form:  (5 3 )(5 3 ) x y x y + −       1.  Factor:     2 36 1 x −         2.  Factor:      2 1 9 4 25 y −            3.  Factor:     8 2 49 225 z x −          4.  Factor:  4 4 4 m n −           

Using a Difference of Squares in Grouping      Example:   Factor:   2 2 9 9 xy x y − + −          2 2 ( 9) ( 9) 1 x y y − + −                   2 ( 9)( 1) y x − +            ( 3)( 3)( 1) y y x + − +        5.  Factor:    2 2 4 25 100 x y x y − − +           6.    Factor:    2 2 2 2 4 4 x y x y − − +             7.  Factor:    2 2 4 4 9 u u y − + −       Hint:   Group the first three terms.                    

Applying a General Strategy to Factor Polynomials         Section R.3 Obj 7    Factoring Strategies  First Step   Number of Terms  Technique  Pull out (factor) GCF  4 or More  Factor by Grouping  3 (trinomial)   Factoring  If a perfect trinomial  (𝑎 2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = (𝑎 + 𝑏) 2   (𝑎 2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = (𝑎 − 𝑏) 2   2 (binomial)  Difference of Squares  (𝑎 2 − 𝑏 2 ) = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)   Sum/ Difference of Cubes  (𝑎 3 + 𝑏 3 ) = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )   (𝑎 3 − 𝑏 3 ) = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )   Note: A sum of squares ( 𝑎 2 + 𝑏 2 )  cannot be factored over the  real plane (numbers).     Factoring a Four Term Polynomial       Example:   Factor:   𝑥 4 − 𝑥 2 − 64𝑥 2 + 64     Factor the terms in pairs       = 𝑥 2 (𝑥 2 − 1) − 64(𝑥 2 − 1)       Factor the  (𝑥 2 − 1)  out of each term       = (𝑥 2 − 64)(𝑥 2 − 1)        Factor the Difference of Perfect Squares       = (𝑥 + 8)(𝑥 − 8)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)     1.  8𝑥 4 − 12𝑥 3 − 128𝑥 2 + 192𝑥   Solution:   4𝑥(2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 32𝑥 + 48)       Factor out the GCF    = 4𝑥(𝑥 2 (2𝑥 − 3) − 16(2𝑥 − 3))     Factor the terms in pairs    = 4𝑥(𝑥 2 − 16) ( 2𝑥 − 3 )       Factor the Difference of Perfect Squares    = 4𝑥(𝑥 + 4)(𝑥 − 4) ( 2𝑥 − 3 )  

 Factoring a Trinomial by Using Substitution       Example:   Factor (𝑥 2 − 2) 2 + 5(𝑥 2 − 2) − 14      Let p =  𝑥 2 − 2  and rewrite the equation         = 𝑝 2 + 5𝑝 − 14       Factor         = (𝑝 + 7)(𝑝 − 2)       Now substitute p =  𝑥 2 − 2          = ((𝑥 2 − 2) + 7)((𝑥 2 − 2) − 2)    Remove parenthesis and combine terms         = (𝑥 2 + 5)(𝑥 2 − 4)       Factor the Difference of Perfect Squares         = (𝑥 2 + 5)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)        2)  (𝑥 2 + 1) 2 + 3(𝑥 2 + 1) − 10   Solution:  = 𝑝 2 + 3𝑝 − 10       Let p =  𝑥 2 + 1  and rewrite the equation      = (𝑝 + 5)(𝑝 − 2)       Factor      = ((𝑥 2 + 1) + 5)((𝑥 2 + 1) − 2)   Now substitute p =  𝑥 2 + 1       = (𝑥 2 + 6)(𝑥 2 − 1)       Remove parenthesis and combine terms      = (𝑥 2 + 6)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)     Factor the Difference of Perfect Squares